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什么是全同态加密？
2022.03.04
全同态加密属于密码学领域。由于全同态加密支持无需解密，就能够对密文进行任意计算，因此可以立竿见影的解决数据隐私安全问题，有很大的应用需求。例如，在云环境下，用户加密数据后存储在云端，由于数据加密使得云端无法获得数据的内容，从而保证了数据的隐私。此外，由于是全同态加密，云端可以对密文数据进行任意计算。总而言之，全同态加密不但通过加密保护了数据，而且没有丧失计算性。
全同态加密的概念早在1978年就提出，然后一找就是30多年过去了。当然这30多年也没闲着，30年间人们提出的方案随后就被证明是不安全的。
当然在这30年间，人们也退而求其次，能做一次加法和一次乘法的也可以，例如c1c2+c3c4，即一个二次多项式。这样的方案称为BGN方案。
当然再退而求其次，就是只能做加法，或者只能做乘法，这种方案称为单同态。例如，RSA就是乘法同态，Paillier就是加法同态。这些方案在有些地方大放异彩，尽管只能做一种同态计算。
直到2009年，Gentry，一个斯坦福大学的博士生，基于理想格提出一个全同态加密方案。Craig Gentry. Fully Homomorphic Encryption Using Ideal Lattices. In the 41st ACM Symposium on Theory of Computing (STOC), 2009. 这篇论文是来自于他的博士论文：Craig Gentry. A Fully Homomorphic Encryption Scheme (Ph.D. thesis).
世界哗然。各大报纸头条，密码学界的突破（Breakthrough），计算机界的突破。英文中Breakthrough可不是随便用的。
最为凑巧的是，09年左右恰好是云计算概念火热的时候。而所有介绍全同态加密的文章开头都会来一句，全同态加密用在云计算中可以保护数据隐私安全。谁催化了谁，真的不知道。
Gentry的全同态加密方案是基于理想格构造的。理想格为何物？通俗的说就是一种困难问题，就像大整数难题一样。
说到这里，不得不说两句格密码。很多人只知道RSA,ECC，但是提起格密码一脸的茫然与恐惧，觉得格密码一定是一个很难理解的问题。事实上，恰好相反，所谓的格（Lattice）就是整系数基的线性组合构成的点，通俗地说就是一个空间中的一些离散有规律的点。既然是离散的点，那么点之间一定有距离，距离产生美，从而产生了一些困难问题，例如：最短向量问题(SVP)。
如果是一个二维平面，那么寻找在格上寻找最短向量问题是简单的，但是当维数变大的时候，例如200多维，寻找格上的最短向量问题就变的异常困难，称之为格上标准困难问题，是一个指数级的困难问题。你可以想象一下，当你在迷宫里时（现实世界是3维的），找出口还不算很困难，但是当在一个200多维的迷宫里时，困难程度立刻指数级上升。
最令人感兴趣的是，格上标准困难问题至今没有量子算法可以破解或者撼动它，因此格上标准困难问题被认为是抗量子的。
格上的加密方案最大特征：是一个含有噪音的方案。加密时往里添加噪音，主要是为了进一步提高安全性。然而恰好是这个噪音，导致加密的形式与解密形式比较简单。这种特性为构造全同态加密埋下了伏笔。
话还是说回来，继续说全同态加密，否则讲格密码可以讲一千零一夜。那么30多年人们没有提出一个全同态加密方案，为什么Gtentry可以构造出来呢？
因为Gentry发现了一个方法：Boostrapping，该方法我把它称之为：同态解密。这个方法的作用是约减噪音。因为格上加密法案是噪音方案，即在密文中含有噪音，所以每次密文计算后，噪音都会增加，尤其是密文乘法导致噪音增长的非常快。即使你构造了一个具有同态性的加密方案，由于噪音增长，导致无法获得同态性。因此，约减密文计算后的噪音变得异常关键。当然在此之前应该构造一个具有同态性的方案。
Gentry是在格上首先构造一个具有同态性的加密方案，该方案能够做加法，也能够做乘法，但是只能做有限次的乘法。为什么呢？因为噪音的增长。噪音增长太快，使得无法继续密文计算。这样的方案称为：有限同态加密方案（Somewhat HE）。
如果想做更多的计算，怎么办呢？约减噪音，我想连小孩都会的有的常规想法。路线并不新颖，不知道是否让你失望了。关键是怎么约减？
Gentry观察到一个现象：如果解密的时候，输入的不是密文，而是对密文加密后的密文，同样，不是解密密钥，而是加密后的密钥，解密会输出什么东西呢？
答案：一个新的密文，该新密文依然是对原明文的加密。最重要的是新密文的噪音总是恒定的。
说到这里，你反应过来了么。这意味着每次密文计算后，如果使用同态解密操作，将会输出一个噪音恒定的新密文，这个新密文可以继续计算，计算后再同态解密，再计算，周而复始，无穷尽也，所谓任意计算实现了。
把密文再加密，密钥再加密后，输入到解密函数中，输出新的密文，这个方法就是Boostrapping技术，即：同态解密。
Gentry的论文，被号称是难以理解的。例如上面这个Boostrapping方法，当时我是理解的很久，因为它里面有很多技术细节。Gentry的博士论文也被号称没有几个人能够读懂。但是最后我是读懂了。
有了同态解密，全同态加密几乎被构造出来。几乎是因为Gentry构造的加密方案中，解密电路的深度太深，导致无法同态解密。为此，Gentry又发明出一个方法：压缩电路，将解密电路的复杂度降低，使得可以同态执行解密电路。你说复杂不复杂。
随后人们遵循Gentry 的思想提出了整数上的，小主理想上的，而且还进行了实现。但是依然很复杂。
然而，2012年有一个人Brakerski将全同态加密推上了顶峰，使之变的简单了，而且将全同态加密构件建在LWE问题之上。
LWE问题是一个格上的平均性困难问题，可以被归约到格上标准困难问题。也是抗量子的。目前主流的格上加密方案都是构建在LWE之上。
由于使用Boostrapping实现任意计算代价太高，而且现实中并不太需要任意计算，所以退而求其次，如果能够执行多项式深度的同态计算，也是能够满足大多数需求的。所以随后的LWE上的全同态加密不使用Boostrapping技术约减噪音，而是使用其它噪音约减技术，使得能够进行多项式深度的密文计算，代价大大降低了。
总之，目前只有在格上建立的全同态加密方案是安全的。建立的方法就是首先建立一个有限同态加密方案(SWHE)，然后使用噪音约减技术，使之成为一个能够执行多项式深度同态计算的方案，称之为层次型全同态加密。
全同态加密的效率也是飞速提高，目前执行一次乘法在毫秒级，密文与明文之比约为10^2。微软去年初在人工神经网络上执行密文计算，效果是令人满意的。
全同态加密目前处在工程化研究阶段，相信全同态加密很快就会进入实践。